Matemática discreta Ejemplos

$5 x - 3 y = 7$ , $3 x - 2 y = 4$

Paso 1

Resuelve $x$ en $5 x - 3 y = 7$ .

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Paso 1.1

Suma $3 y$ a ambos lados de la ecuación.

$5 x = 7 + 3 y$

$3 x - 2 y = 4$

Paso 1.2

Divide cada término en $5 x = 7 + 3 y$ por $5$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $5 x = 7 + 3 y$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$3 x - 2 y = 4$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 2 y = 4$ por $\frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$ .

$3 (\frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}) - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}) - 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{7}{5}) + 3 (\frac{3 y}{5}) - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3 (\frac{7}{5})$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Combina $3$ y $\frac{7}{5}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{21}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21}{5} + 3 (\frac{3 y}{5}) - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $3 \frac{3 y}{5}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Combina $3$ y $\frac{3 y}{5}$ .

$\frac{21}{5} + \frac{3 (3 y)}{5} - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{21}{5} + \frac{9 y}{5} - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21}{5} + \frac{9 y}{5} - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21}{5} + \frac{9 y}{5} - 2 y = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} + \frac{9 y}{5} - 2 y \cdot \frac{5}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.3

Combina $- 2 y$ y $\frac{5}{5}$ .

$\frac{21}{5} + \frac{9 y}{5} + \frac{- 2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21}{5} + \frac{9 y - 2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{21 + 9 y - 2 y \cdot 5}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.6

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$\frac{21 + 9 y - 10 y}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 2.2.1.7

Resta $10 y$ de $9 y$ .

$\frac{21 - y}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21 - y}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21 - y}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$\frac{21 - y}{5} = 4$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{21 - y}{5} = 4$ .

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Paso 3.1

Multiplica ambos lados por $5$ .

$\frac{21 - y}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica $\frac{21 - y}{5} \cdot 5$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{21 - y}{5} \cdot 5 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$21 - y = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$21 - y = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.1.1.2

Reordena $21$ y $- y$ .

$- y + 21 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- y + 21 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- y + 21 = 4 \cdot 5$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$- y + 21 = 20$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- y + 21 = 20$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- y + 21 = 20$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = 20 - 21$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.1.2

Resta $21$ de $20$ .

$- y = - 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$- y = - 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $- y = - 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $- y = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- 1}$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = \frac{- 1}{- 1}$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

$y = 1$

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{7}{5} + \frac{3 y}{5}$ por $1$ .

$x = \frac{7}{5} + \frac{3 (1)}{5}$

$y = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{7}{5} + \frac{3 (1)}{5}$ .

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Paso 4.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{7 + 3 (1)}{5}$

$y = 1$

Paso 4.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$x = \frac{7 + 3}{5}$

$y = 1$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $7$ y $3$ .

$x = \frac{10}{5}$

$y = 1$

Paso 4.2.1.2.3

Divide $10$ por $5$ .

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

$x = 2$

$y = 1$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(2, 1)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(2, 1)$

Forma de la ecuación:

$x = 2, y = 1$

Paso 7